✎ ☛ Étude de la monotonie d'une suite

Méthode

Pour étudier la monotonie d'une suite, il peut être judicieux d'étudier, pour tout entier naturel  `n` , le signe de `u_{n+1}-u_n` .

Énoncé

Étudier la monotonie de la suite `(u_n)`  définie par `u_1=2`  et, pour tout entier naturel `n`  non nul, \(u_{n+1}=u_n+\displaystyle\frac{1}{n^2}\) .

Solution

\(\forall n \in \mathbb{N}^*\) , \(u_{n+1}-u_n=u_n+\displaystyle\frac{1}{n^2}-u_n\)
                                    \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}\) .
\(\forall n \in \mathbb{N}^*\) , on a \(\displaystyle\frac{1}{n^2}>0\) , donc \(u_{n+1}>u_n\) .
On en déduit que la suite `(u_n)`  est strictement croissante.

Exercice

Dans chacun des cas suivants, étudier la monotonie des suites proposées.
1.  \((u_n)\) est la suite définie pour tout entier naturel  `n` par `u_n=4-5n` .
2.   \((u_n)\) est la suite définie pour tout entier naturel  `n` par \(u_n=\displaystyle\frac{3}{n+2}\) .
3.   \((u_n)\) est la suite définie pour tout entier naturel  \(n \geqslant 2\) par `u_n=-3n^2+7n+1` .
4.  \((u_n)\) est la suite arithmétique de premier terme `u_1=6` et de raison 7,9.
5.  \((u_n)\) est la suite géométrique de premier terme  `u_1=2` et de raison 0,4.
6.  \((u_n)\) est la suite définie par `u_0=1`  et, pour tout entier naturel  `n` , `u_{n+1}=u_n+\text{e}^n+5` .