✎ ☛ Étude de la monotonie d'une suite

Méthode

Pour étudier la monotonie d'une suite, il peut être judicieux d'étudier, pour tout entier naturel  $n$ , le signe de $u_{n+1}-u_n$ .

Énoncé

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$  définie par $u_1=2$  et, pour tout entier naturel $n$  non nul, $u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ .

Solution

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $u_{n+1}-u_n=u_n+{\displaystyle \frac{1}{n^2}-u_n}$
                                    $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ .
$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , on a ${\displaystyle \frac{1}{n^2}>0}$ , donc $u_{n+1}>u_n$ .
On en déduit que la suite $(u_n)$  est strictement croissante.

Exercice

Dans chacun des cas suivants, étudier la monotonie des suites proposées.
1.  $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel  $n$ par $u_n=4-5n$ .
2.   $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel  $n$ par $u_n={\displaystyle \frac{3}{n+2}}$ .
3.   $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel  $n⩾2$ par $u_n=-3n^2+7n+1$ .
4.  $(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_1=6$ et de raison 7,9.
5.  $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme  $u_1=2$ et de raison 0,4.
6.  $(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$  et, pour tout entier naturel  $n$ , $u_{n+1}=u_n+{\text{e}}^n+5$ .